Trustee Client ライブラリを利用するには、サーバーを構築する必要がありますか？

サーバー構築は必須ではありません。
サーバーでの構築要否はご利用のご要件により異なりますが、例えば大量処理を前提とする場合は、サーバーを構築して集中処理をする方が望ましいです。